# 高中数学圆锥曲线二级结论
## 一、椭圆
1. (1) 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 共焦点的椭圆方程可设为 $\frac{x^2}{a^2 + \lambda} + \frac{y^2}{b^2 + \lambda} = 1, (b^2 + \lambda > 0)$.
(2) 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 有相同离心率的椭圆可设为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \lambda, (\lambda > 0)$.
2. 设 $P$ 是椭圆上异于长轴端点的任一点，两焦点为 $F_1, F_2$. 记 $\angle F_1PF_2 = \theta$, 则
(1) $|PF_1||PF_2| = \frac{2b^2}{1 + \cos\theta}$.
(2) 焦点三角形面积 $S_{\triangle PF_1F_2} = c|y_P| = b^2\tan\frac{\theta}{2}$.
(3) 当点 $P$ 位于短轴顶点处时, $\theta$ 最大. 此时 $S_{\triangle PF_1F_2}$ 也最大。
(4) $\cos\theta \ge 1 - 2e^2$.
(5) 点 $M$ 是 $\triangle PF_1F_2$ 内心， $PM$ 交 $F_1F_2$ 于点 $N$. 则 $\frac{|PM|}{|MN|} = \frac{a}{c}$.
3. 椭圆两焦点为 $F_1, F_2$, $P$ 是椭圆上任意一点，则有以下结论成立：
(1) $|PF_1| + |PF_2| = 2a$.
(2) $a - c \le |PF_1| \le a + c$.
(3) $b^2 \le |PF_1||PF_2| \le a^2$.
(4) 焦半径公式：$|PF_1| = a + ex_0$, $|PF_2| = a - ex_0$.
4. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为 $\frac{2b^2}{a}$.
5. 若 $P(x_0, y_0)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上，则：
(1) 以 $P(x_0, y_0)$ 为切点的切线斜率为 $k = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$.
(2) 过点 $P$ 的椭圆的切线方程为 $\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$.
6. 若 $P(x_0, y_0)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 外，过点 $P(x_0, y_0)$ 作椭圆的两条切线，切点为 $P_1, P_2$. 则切点弦 $P_1P_2$ 的直线方程是 $\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$.
7. 椭圆的两个顶点 $A_1(-a, 0), A_2(a, 0)$，与 $y$ 轴平行的直线交椭圆于 $P_1, P_2$ 时，$A_1P_1$ 与 $A_2P_2$ 交点的轨迹方程是 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
8. 过椭圆上任一点 $A(x_0, y_0)$ 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 $B, C$ 两点，则直线 $BC$ 的斜率 $k_{BC} = \frac{b^2x_0}{a^2y_0}$ (常数).
9. 设 $P$ 是椭圆上异于长轴端点的任一点，两焦点为 $F_1, F_2$, $\angle PF_1F_2 = \alpha$, $\angle PF_2F_1 = \beta$, 则 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha + \sin\beta}$.
10. $P$ 为椭圆上任一点，两焦点为 $F_1, F_2$, $A$ 为椭圆内一定点，则 $2a - |AF_1| < |PA| + |PF_1| \le 2a + |AF_2|$. 当且仅当 $A, F_2, P$ 三点共线时等号成立.
11. 椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$, 两焦点为 $F_1, F_2$, $P(x_0, y_0)$ 是椭圆上任意一点，
(1) $y_0^2 = \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x_0^2)$, $x_0^2 = \frac{a^2}{b^2}(b^2 - y_0^2)$.
(2) 参数方程 $\begin{cases} x_0 = a\cos\theta \\ y_0 = b\sin\theta \end{cases} (\theta 为参数)$.
12. 已知 $A, B$ 是椭圆上的两点，线段 $AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $P(x_0, 0)$, 则 $-\frac{a^2 - b^2}{a} < x_0 < \frac{a^2 - b^2}{a}$.
13. 若 $AB$ 是过焦点 $F$ 的弦，设 $|AF| = m, |BF| = n$, 则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{2a}{b^2}$.
14. $O$ 为坐标原点，$P, Q$ 为椭圆上两动点，且 $OP \perp OQ$.
(1) $\frac{1}{|OP|^2} + \frac{1}{|OQ|^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
(2) $|OP|^2 + |OQ|^2$ 的最大值为 $a^2 + b^2$.
(3) $S_{\triangle OPQ}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}ab$.
15. 以椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 内一点 $P(x_0, y_0)$ 为中点的弦所在直线方程为 $\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2}$.
16. 有关 $-\frac{b^2}{a^2}$ 的经典结论：
(1) $AB$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的不平行于对称轴的弦，$M(x_0, y_0)$ 为 $AB$ 的中点，则 $k_{OM} \cdot k_{AB} = -\frac{b^2}{a^2}$.
(2) 椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$，过原点的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，$P$ 是椭圆上异于 $A, B$ 两点的任一点，则有 $k_{PA} \cdot k_{PB} = -\frac{b^2}{a^2}$.
17. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，必经过另一个焦点。
18. 椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$，半焦距为 $c$，焦点 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$. 设
(1) 过 $F_1$ 的直线 $l$ 的倾斜角为 $\alpha$，交椭圆于 $A, B$ 两点，则有
$|AF_1| = \frac{b^2}{a - c\cos\alpha}$, $|BF_1| = \frac{b^2}{a + c\cos\alpha}$, $|AB| = \frac{2ab^2}{a^2 - c^2\cos^2\alpha}$.
(2) 过 $F_2$ 的直线 $l$ 的倾斜角为 $\alpha$，交椭圆于 $A, B$ 两点，则有
$|AF_2| = \frac{b^2}{a + c\cos\alpha}$, $|BF_2| = \frac{b^2}{a - c\cos\alpha}$, $|AB| = \frac{2ab^2}{a^2 - c^2\cos^2\alpha}$.
## 二、双曲线
1. 双曲线的两焦点分别为 $F_1, F_2$, $P$ 是双曲线上任意一点，则：
(1) $||PF_1| - |PF_2|| = 2a$.
(2) $|PF_1|_{min} = a + c$, $|PF_2|_{min} = c - a$ ($P$ 在右支上).
$|PF_2|_{min} = a + c$, $|PF_1|_{min} = c - a$ ($P$ 在左支上).
2. 双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)$, $P(x_0, y_0)$ 是双曲线上任意一点，则：
$y_0^2 = \frac{b^2}{a^2}(x_0^2 - a^2)$, $x_0^2 = \frac{a^2}{b^2}(b^2 + y_0^2)$.
3. 若 $P(x_0, y_0)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上，则：
(1) 以 $P(x_0, y_0)$ 为切点的切线斜率为 $k = \frac{b^2x_0}{a^2y_0}$.
(2) 过点 $P$ 的双曲线的切线方程为 $\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1$.
4. (1) 与 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 共轭的双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$.
① 它们有公共渐近线.
② 四个焦点都在以原点为圆心，c 为半径的圆上。
③ $\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$.
(2) 与 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 有相同焦点的双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2 - \lambda} - \frac{y^2}{\lambda + b^2} = 1, (\lambda \ne 0, a^2 - \lambda > 0, \lambda + b^2 > 0)$.
(3) 与 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 有相同焦点的椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2 + \lambda} + \frac{y^2}{\lambda - b^2} = 1, (\lambda \ne 0, a^2 + \lambda > \lambda - b^2 > 0)$.
(4) 与 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 有相同焦点的双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2 - \lambda} - \frac{y^2}{\lambda - b^2} = 1, (\lambda \ne 0, a^2 - \lambda > 0, \lambda - b^2 > 0)$.
(5) 与 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 有相同离心率的双曲线方程为，
① 焦点在 x 轴上时：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \lambda, (\lambda > 0, \lambda \ne 1)$.
② 焦点在 y 轴上时：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = \lambda, (\lambda > 0)$.
(6) 与 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 有相同渐近线的双曲线方程为，$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \lambda, (\lambda \ne 0)$.
5. 设 $P$ 点是双曲线上异于长轴端点的任一点，两焦点分别为 $F_1, F_2$. 记 $\angle F_1PF_2 = \theta$, 则：
(1) $|PF_1||PF_2| = \frac{2b^2}{1 - \cos\theta}$.
(2) 焦点三角形面积 $S_{\triangle PF_1F_2} = c|y_P| = b^2\cot\frac{\theta}{2}$.
6. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为 $\frac{2b^2}{a}$.
7. 若 $P(x_0, y_0)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 外，则过 $P$ 作双曲线的两条切线，切点为 $P_1, P_2$. 则切点弦 $P_1P_2$ 的直线方程是 $\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1$.
8. 双曲线焦点到渐近线的距离是 $b$，顶点到渐近线的距离是 $\frac{ab}{c}$.
9. 双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值 $\frac{a^2b^2}{c^2}$.
10. 双曲线的两个顶点为 $A_1(-a, 0), A_2(a, 0)$，与 $y$ 轴平行的直线交双曲线于 $P_1, P_2$ 时，$A_1P_1$ 与 $A_2P_2$ 交点的轨迹方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
11. 双曲线 $x^2 - y^2 = \pm a^2$ 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm x$，离心率 $e = \sqrt{2}$.
12. 过双曲线上任一点 $A(x_0, y_0)$ 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 $B, C$ 两点，则直线 $BC$ 的斜率 $k_{BC} = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$ (常数).
13. 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中两焦点坐标为 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$，过 $F_1$ 的直线 $l$ 的倾斜角为 $\alpha$，交双曲线于 $A, B$ 两点，焦点在 $x$ 轴的焦点弦长为：
$|AB| = \frac{2ab^2}{a^2 - c^2\cos^2\alpha}$ ($A, B$ 在同一支曲线上).
$|AB| = \frac{2ab^2}{c^2\cos^2\alpha - a^2}$ ($A, B$ 在两支曲线上).
## 三、抛物线
1. 抛物线的弦中点问题：
(1) 设抛物线 $y^2 = 2px (p > 0)$ 的弦为 $AB$，弦 $AB$ 的中点为 $C(x_0, y_0)$，则 $k_{AB} = \frac{p}{y_0}$.
(2) 设抛物线 $y^2 = -2px (p > 0)$ 的弦为 $AB$，弦 $AB$ 的中点为 $C(x_0, y_0)$，则 $k_{AB} = -\frac{p}{y_0}$.
(3) 设抛物线 $x^2 = 2py (p > 0)$ 的弦为 $AB$，弦 $AB$ 的中点为 $C(x_0, y_0)$，则 $k_{AB} = \frac{x_0}{p}$.
(4) 设抛物线 $x^2 = -2py (p > 0)$ 的弦为 $AB$，弦 $AB$ 的中点为 $C(x_0, y_0)$，则 $k_{AB} = -\frac{x_0}{p}$.
2. 设 $AB$ 为过抛物线 $y^2 = 2px (p > 0)$ 焦点的弦，$A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, 直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则：
(1) $y_1y_2 = -p^2$, $x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$.
(2) $|AF| = x_1 + \frac{p}{2} = \frac{p}{1 - \cos\theta}$, $|BF| = x_2 + \frac{p}{2} = \frac{p}{1 + \cos\theta}$.
(3) $|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{2p}{\sin^2\theta}$.
(4) $\frac{1}{|FA|} + \frac{1}{|FB|} = \frac{2}{p}$.
(5) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -\frac{3}{4}p^2$.
(6) $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}|OA||OB|\sin\angle AOB = \frac{1}{2}|OF|h_p = \frac{p^2}{2\sin\theta}$.
(7) 以 $AB$ 为直径的圆与准线相切，以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切。
3. 已知抛物线方程为 $y^2 = 2px (p > 0)$, 定点 $M(m, 0) (m \ne 0)$, 直线 $l$ 过点 $M$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$, 则有 $x_1x_2 = m^2$, $y_1y_2 = -2pm$.
4. 已知 $A, B$ 是抛物线 $y^2 = 2px (p > 0)$ 两点，且直线 $AB$ 不垂直于 $x$ 轴，则有 $k_{AB} = \frac{2p}{y_1 + y_2} = \frac{p}{y_P}$ ($y_P$ 为线段 $AB$ 中点纵坐标).
5. 过抛物线 $y^2 = 2px (p > 0)$ 内一点 $P(x_0, y_0)$ 作抛物线弦 $AB$，过 $A, B$ 作抛物线的切线，两条切线的交点 $M$ 的轨迹方程为 $y_0y = p(x + x_0)$.